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施密特正交化的几何意义是什么?

这些基对于数学来讲都是等价的,但是在实际应用中,我们更喜欢正交基(比如机器学习里面,第一步往往都是正交化,这样可以简化计算):

在二维平面中,有两个线性无关不垂直的向量,很显然这是一组基,但不是正交基:

如下操作可以得到正交基,也就是将两个向量正交化(为了方便观看,下图把网格去掉了):

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几何意义就是把一堆歪歪斜斜的基向量给掰直成标准正交基,强迫症患者应该很好理解。

通过图来观察,每一次操作减去已找正交基上的投影分量,保证是相互正交的。这就是Gram-Schmidt寻求正交基的方法,很容易推广到n个向量。

利用了Gram-Schmidt方法找到了正交基向量,回顾步骤,a仅有q1分量,b有q1分量和q2分量,c具有q1,q2和q3三种分量,用矩阵表示,

在实际场景中,我们愿意选取正交向量作为基,即本身A就是正交矩阵,比如傅里叶变换。

泻药。 方便说明我以欧式空间为例子来说明这个问题。 我们知道,对于一个平面上的两个向量,只需要以一个向量a1为基准,去除另一个向量a2在该向量上的投影,剩下的向量a2就与a1正交。

类似地,对于三维欧式空间,我们可以类似地去除掉a3与基准平面平行的向量,剩下的向量就与a1,a2张成的平面正交。

gram-schmit正交化的想法与上述过程完全类似。以一个向量为基准,得到第二个向量正交于第一个向量的部分;再得到第三个向量与第一、第二个向量都正交的部分;………如此不断做下去,就得到了一组正交的向量。



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